비틀어 늘린 쌍각뿔
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1. 개요
비틀어 늘린 쌍각뿔은 n각 쌍뿔의 두 밑면 사이에 n각 엇각기둥을 추가하여 만들어지는 다면체이다. 이 도형은 밑면의 형태에 따라 다양한 종류로 나뉘며, 정삼각형으로만 이루어진 비틀어 늘린 쌍각뿔은 델타다면체로 불린다. 비틀어 늘린 사각쌍뿔은 존슨의 다면체에 속하며, 정이십면체는 플라톤의 다면체에 해당한다. 비틀어 늘린 n각쌍뿔은 4n개의 면을 가지며, n이 3, 4, 5, 6일 때 면의 개수는 각각 12, 16, 20, 24개이다.
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| 비틀어 늘린 쌍각뿔 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 종류 | 존슨 다면체 (J44) |
| 면 | 삼각형 |
| 슐레플리 기호 | 해당 없음 |
| 위소프 기호 | 해당 없음 |
| 콕서터 다이어그램 | 해당 없음 |
| 대칭군 | ]], [2,2n], (2*n),}} 크기 |
| 회전군 | , [2,n], (22n),}} 크기 |
| 겉넓이 | 해당 없음 |
| 부피 | 해당 없음 |
| 쌍대다면체 | 깎은 사다리꼴 면체 |
| 성질 | 볼록 |
| 용어 | |
| 영문명칭 | Gyroelongated bipyramid |
| 종류 | -gonal}} |
| 관련 용어 | -gonal}} |
2. 형태
자이로형 쌍뿔은 n각 쌍뿔의 두 밑면 사이에 n각 엇각기둥을 추가하여 만든다. 정삼각형만으로 구성된 델타다면체에는 존슨의 다면체인 비틀어 늘린 사각쌍뿔, 정다면체인 정이십면체가 있다. 비틀어 늘린 삼각쌍뿔도 정삼각형으로 만들 수 있지만, 동일 평면에 있는 면 때문에 엄밀히 볼록하지 않아 삼각형 다면체로 보지 않으며, 삼각형 쌍을 마름모로 합쳐 엇삼각쌍뿔로 볼 수 있다. 그 외의 자이로형 쌍뿔은 이등변삼각형으로 만들 수 있다.
| n | 3 | 4 | 5 | 6 | n |
|---|---|---|---|---|---|
| 유형 | 평면 공통 면 | 정삼각형 | 정규 | 평면 공통 면 | |
| 모양 |  |  |  |  | |
| 면 | 12 | 16 | 20 | 24 | 4n |
| 쌍대 | 삼각 절두 사다리꼴 | 정사각 절두 사다리꼴 | 오각 절두 사다리꼴 (십이면체) | 육각 절두 사다리꼴 | 절두 사다리꼴 |
2. 1. 종류
자이로형 쌍뿔은 밑면의 다각형(n)에 따라 여러 종류로 나뉜다. 이 중 정삼각형으로만 이루어진 자이로형 쌍뿔은 델타다면체라고 부른다. 델타다면체에는 존슨의 다면체인 비틀어 늘린 사각쌍뿔과 플라톤의 다면체인 정이십면체가 있다. 비틀어 늘린 삼각쌍뿔도 정삼각형으로 만들 수 있지만, 동일 평면에 있는 면 때문에 엄밀히 볼록하지 않아 델타다면체로 보지 않는다. 이 경우 삼각형 쌍을 마름모로 합쳐 엇삼각쌍뿔로 볼 수 있다.n이 6 이상인 경우처럼, 비틀어 늘린 육각쌍뿔을 비롯한 나머지 자이로형 쌍뿔들은 이등변삼각형으로 만들 수 있다.
2. 1. 1. 정삼각형으로 이루어진 자이로형 쌍뿔
이 집합에는 삼각형 다면체인 경우가 두 가지 있다. 즉, 완전히 정삼각형으로만 구성된 다면체는 존슨의 다면체인 비틀어 늘린 사각쌍뿔과 플라톤의 다면체인 정이십면체이다. ''비틀어 늘린 삼각쌍뿔''은 정삼각형으로 만들 수는 있지만, 동일 평면에 있는 면 때문에 엄밀히 볼록하지 않다. 따라서 삼각형 다면체는 아니다. 삼각형들의 쌍은 마름모로 합쳐져서 엇삼각쌍뿔로 볼 수 있다.2. 1. 2. 그 외의 자이로형 쌍뿔
비틀어 늘린 육각쌍뿔처럼 n이 6 이상인 경우도 존재하며, 이들은 이등변삼각형으로 구성될 수 있다.| n | 3 | 4 | 5 | 6 | n |
|---|---|---|---|---|---|
| 종류 | 평면 | 등변 | 정 | 평면 | |
| 모양 | 비틀어 늘린 삼각쌍뿔 | 비틀어 늘린 사각쌍뿔 | 비틀어 늘린 오각쌍뿔 (정이십면체) | 비틀어 늘린 육각쌍뿔 | 비틀어 늘린 쌍뿔 |
| 그림 | -- | ||||
| 면 | 12 | 16 | 20 | 24 | 4n |
| 쌍대 | 깎은 엇삼각쌍뿔 | 깎은 엇사각쌍뿔 | 깎은 엇오각쌍뿔 (정십이면체) | 깎은 엇육각쌍뿔 | 깎은 엇쌍각뿔 |
2. 2. 면의 수
비틀어 늘린 *n*각쌍뿔은 4*n*개의 삼각형 면을 가진다. 다음은 그 예시를 나타낸 표이다.
2. 3. 쌍대
자이로형 쌍뿔의 쌍대는 깎은 엇n각뿔이다. 비틀어 늘린 오각쌍뿔(정이십면체)의 쌍대는 정십이면체이다.| n | 3 | 4 | 5 | 6 | n |
|---|---|---|---|---|---|
| 쌍대 | 깎은 엇삼각쌍뿔 | 깎은 엇사각쌍뿔 | 깎은 엇오각쌍뿔 (정십이면체) | 깎은 엇육각쌍뿔 | 깎은 엇쌍각뿔 |
이 집합에는 삼각형 다면체인 존슨의 다면체 비틀어 늘린 사각쌍뿔과 플라톤의 다면체인 정이십면체가 있다. ''비틀어 늘린 삼각쌍뿔''은 정삼각형으로 만들 수 있지만, 동일평면에 있는 면 때문에 볼록하지 않아서 삼각형 다면체는 아니다. 삼각형 쌍은 마름모로 합쳐져서 엇삼각쌍뿔로 볼 수 있다. 다른 것들은 이등변삼각형으로 만들 수 있다.
3. 관련 다면체
n 3 4 5 6 n 종류 평면 등변 정 평면 모양 비틀어 늘린 삼각쌍뿔 비틀어 늘린 사각쌍뿔 비틀어 늘린 오각쌍뿔
(정이십면체)비틀어 늘린 육각쌍뿔 비틀어늘린 쌍뿔 그림 -- 면 12 16 20 24 4n 쌍대 깎은 엇삼각쌍뿔 깎은 엇사각쌍뿔 깎은 엇오각쌍뿔
(정십이면체)깎은 엇육각쌍뿔 깎은 엇쌍각뿔
정삼각형만으로 구성된 델타다면체는 존슨의 다면체인 자이로연장 정사각쌍각뿔, 정다면체인 정이십면체, 그리고 정삼각형으로 만들어졌지만 평면 공통 면을 가지는 ''자이로연장 삼각쌍각뿔''이 있다. ''자이로연장 삼각쌍각뿔''은 삼각형 쌍을 마름모로 합쳐서 삼각 사다리꼴로 볼 수 있다. 다른 형태들은 이등변삼각형으로 구성할 수 있다.n 3 4 5 6 n 유형 평면 공통 면 정삼각형 정규 평면 공통 면 모양 자이로연장 삼각쌍각뿔 자이로연장 정사각쌍각뿔 자이로연장 오각쌍각뿔
(정이십면체)자이로연장 육각쌍각뿔 자이로연장 쌍각뿔 이미지 -- 면 12 16 20 24 4n 쌍대 삼각 절두 사다리꼴 정사각 절두 사다리꼴 오각 절두 사다리꼴
(십이면체)육각 절두 사다리꼴 절두 사다리꼴
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